Hæfnimarkmið í stærðfræði á efsta stigi





Að geta spurt og svarað með stærðfræði
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
tjáð sig um stærðfræðileg efni og um veruleikann með tungumáli stærðfræðinnar,
útskýrt hugsun sína um hana fyrir öðrum, leitað lausna og sett viðfangsefni fram á
fjölbreyttan stærðfræðilegan hátt með því að beita skapandi hugsun, ígrundun
og röksemdafærslu,sett fram, greint, túlkað og metið stærðfræðileg líkön.
• greint á milli skilgreininga og setninga, milli einstakra tilvika og alhæfinga. Getur
  nýtt þá þekkingu til að kanna og ræða um stærðfræðileg hugtök, um tilgang og
  takmörk þeirra,
• fundið, sett fram og afmarkað stærðfræðiþrautir bæði í tengslum við daglegt líf og
  viðfangsefni stærðfræðinnar, lagt mat á lausnirnar, m.a. með það að markmiði að
  alhæfa út frá þeim,
• sett upp, túlkað og gagnrýnt stærðfræðilegt líkan af raunverulegum aðstæðum.
  Það getur m.a. falið í sér reikning, teikningar, myndrit, jöfnur og föll,
• fundið rök fyrir og rætt um fullyrðingar um stærðfræði, skilið og metið röksemdir
  sem settar eru fram af öðrum og unnið með einfaldar sannanir.




Að kunna að fara með tungumál og verkfæri stærðfræðinnar
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
notað hugtök og táknmál stærðfræðinnar til að setja fram, tákna og leysa
hversdagsleg og fræðileg vandamál, rætt um lausnir og nýtt margvísleg
hjálpartæki til stærðfræðilegra verka, þar með talin tölvutækni,
• sett fram og notað mismunandi framsetningu sama fyrirbæris, hvort sem um er að
  ræða hlutbundna, myndræna, munnlega eða algebrulega framsetningu eða með
  töflu og grafi,
• lesið úr táknmáli stærðfræðinnar, notað það á merkingarbæran hátt, t.d. þýtt af
  daglegu máli yfir á táknmál stærðfræðinnar og skilið þær leikreglur sem gilda um
  meðferð þess,
• tjáð sig um stærðfræðileg efni munnlega, skriflega og myndrænt, af nákvæmni og
  túlkað framsetningu annarra á stærðfræðilegu efni,
• valið og notað margvísleg verkfæri, þar með talin tölvutækni, gert sér grein fyrir
  möguleikum þeirra og takmörkunum, notað þau markvisst til að rannsaka
  stærðfræðileg efni og setja fram niðurstöður sínar.







Vinnubrögð og beyting stærðfræðinnar
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
unnið skipulega einn og í samvinnu við aðra að því að rannsaka, greina, túlka,
setja fram tilgátur og finna lausnir, alhæfa um hvers kyns viðfangsefni með hjálp
stærðfræðinnar, lesið og lagt mat á stærðfræðitexta, notað viðeigandi verkfæri s.s. tölvur og kynnt niðurstöður sínar,
• tekið þátt í að þróa skipulega fjölbreyttar lausnaleiðir, m.a. með notkun
  upplýsingatækni,
• rannsakað, sett fram á skipulegan hátt og rökrætt með það að markmiði að
  alhæfa um stærðfræðileg efni,
• undirbúið og flutt munnlegar kynningar og skrifað texta um eigin vinnu með
  stærðfræði, m.a. með því að nota upplýsingatækni,
• unnið í samvinnu við aðra að lausnum stórra og smárra tærðfræðiverkefna og
  gefið öðrum viðbrögð, m.a. með því að spyrja markvisst,
• tekist á við verkefni úr umhverfinu eða samfélaginu, þar sem þarf að afla
  upplýsinga og meta þær, finna lausnir, m.a. í tengslum við ábyrgð á eigin
  fjármálum, neyslu og þróun samfélagsins,
• nýtt möguleika stærðfræðinnar til að lýsa veruleikanum og líkt eftir
  raunverulegum fyrirbrigðum, m.a. með notkun tölvutækni og gert sér grein
  fyrir hvenær slíkt er gagnlegt og við hæfi,
• lesið stærðfræðilegan texta, skilið og tekið afstöðu til upplýsinga sem settar eru
  fram á táknmáli stærðfræðinnar.





Tölur og reikningur
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
notað rauntölur og reiknað með ræðum tölum, greint samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum, tekið þátt í að þróa lausnaleiðir, nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu við útreikninga og mat á þeim,
• notað rauntölur og greint samhengi milli talna í ólíkum talnamengjum,
• notað sætiskerfisrithátt og sýnt að hann skilur þær reglur sem gilda um hann,
• gefið dæmi um mismunandi framsetningu hlutfalla og brota, skýrt sambandið 
  milli almennra brota, tugabrota og prósenta,
• leyst viðfangsefni sem sprottin eru úr daglegu lífi og umhverfi, með
  hugarreikningi, vasareikni, tölvuforritum og skriflegum útreikningum,
• tekið þátt í að þróa hentugar aðferðir við reikning með ræðum tölum sem
  byggja á eigin skilningi , nýtt vasareikni og tölvur í þeim tilgangi,
• reiknað með ræðum tölum, m.a. við lausnir á jöfnum og öðrum viðfangsefnum
  algebru,
• notað almenn brot, tugabrot og prósentur við útreikninga á daglegum
  viðfangsefnum,
• nýtt sér samhengi og tengsl reikniaðgerðanna og notað þá þekkingu við
  útreikninga og mat á þeim.




Algebra
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
rannsakað mynstur og alhæft um þau, leyst jöfnur, notað breytistærðir og lýst sambandi þeirra með stæðum og föllum,
• unnið með talnarunur og rúmfræðimynstur til að rannsaka, koma skipulagi á
  og alhæfa um það á táknmáli algebrunnar og sett fram stæður með 
  breytistærðum,
• leyst jöfnur og einfaldar ójöfnur, leyst saman jöfnur með fleiri en einni
  óþekktri stærð,
• ákvarðað lausnir á jöfnum og jöfnuhneppum með myndritum og lýst
  sambandi breytistærða með föllum.




Rúmfræði og mælingar
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar, nýtt einslögun, hornareglur og hnitakerfi til að teikna og greina rúmfræðilega hluti, sett fram einföld rúmfræðileg rök, mælt og reiknað lengd, flöt og rými og nýtt tölvur til þessara
hluta,
• notað undirstöðuhugtök rúmfræðinnar þar með talin hugtök um 
  stærðarhlutföll, innbyrðis afstöðu lína, færslur og fræðilega eiginleika tví- og
  þrívíðra forma,
• teiknað skýringarmyndir og unnið með teikningar annarra út frá gefnum
  forsendum, rannsakað, lýst og metið samband milli hlutar og teikningar af  
  honum,
• notað mælikvarða og unnið með einslaga form, útskýrt setningu 
  Pýþagórasar  og reglu um hornasummu í marghyrningi og beitt henni í 
  margvíslegu samhengi. Einnig gert rannsóknir á rétthyrndum þríhyrningum 
  og reiknað hliðarlengdir og horn út frá þekktum eiginleikum,
• mælt ummál, flöt og rými, reiknað stærð þeirra og útskýrt hvað felst í 
  mælihugtakinu,
• nýtt tölvur til að teikna, rannsaka og setja fram rök um rúmfræðilegar 
  teikningar,
• sett fram einföld rúmfræðileg rök og sannanir og túlkað táknmál algebru með
  rúmfræði,
• túlkað jöfnur í hnitakerfi og notað teikningar í hnitakerfi til að leysa þær.




Tölfræði og líkindi
í lok 10. bekkjar
Að nemandi geti:
notað tölfræðihugtök til að skipuleggja, framkvæma og túlka tölfræðirannsóknir, framkvæmt og dregið ályktanir af tilraunum, þar sem líkur og tilviljun koma við sögu, notað einföld líkindahugtök og talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum,
• notað tölfræðihugtök til að setja fram, lýsa, skýra og túlka gögn,
• skipulagt og framkvæmt einfaldar tölfræðikannanir og dregið ályktanir af
  þeim,
• lesið, skilið og lagt mat á upplýsingar um líkindi sem birtar eru á formi
  tölfræði, t.d. í fjölmiðlum,
• framkvæmt tilraunir þar sem líkur og tilviljun koma við sögu og túlkað
  niðurstöður sínar,
• notað hugtök eins og skilyrtar líkur og óháðir atburðir, notað einfaldar
  talningar til að reikna og túlka líkur á atburðum.
Áttunda námsár
Uppfært í ágúst 2016
Að nemandi geti:
  • geta lesið úr rómverskum talnatáknum og ritað með þeim algengar tölur, t.d. ártöl
  • þekkja til sögu ýmissa stærðfræðilegra hugtaka sem koma fyrir í náminu, s.s. frumtalna, π og reglu Pýþagórasar
  • kunna góð skil á náttúrlegum, heilum og ræðum tölum
  • vita að ein tala gengur upp í aðra ef allir frumþættir hinnar fyrri eru fólgnir í hinni seinni
  • þekkja frumtölur (prímtölur) og þáttun talna í frumþætti (prímþætti), vita hvernig má finna lægstu frumtölurnar og geta leyst lágar tölur upp í frumþætti
  • kunna að leggja saman, draga frá, margfalda og deila af öryggi án aðstoðar reiknivélar
  • kunna skil á tengslum prósentu við almenn brot og tugabrot
  • kunna að leggja saman, draga frá, margfalda og deila af öryggi án aðstoðar reiknivélar
  • gera sér grein fyrir hvenær borgar sig að finna nákvæma útkomu og hvenær nægir að finna námundunarútkomu
  • geta breytt endanlegum tugabrotum í almenn brot og almennum brotum í tugabrot með gefinni nákvæmni
  • skilja tugakerfið og vita að sumar ræðar tölur má rita sem endanleg tugabrot
  • geta breytt endanlegum tugabrotum í almenn brot og almennum brotum í tugabrot með gefinni nákvæmni
  • geta stytt og lengt brot og þekkja jafngild brot
  • geta beitt samlagningu og frádrætti við reikning á almennum brotum
  • geta beitt reikningsaðgerðunum margföldun og deilingu á almenn brot.
  • þekkja hugtakið margföldunarandhverfa
  • hafa gott vald á prósentuhugtakinu og vera fær í prósentureikningi, nánar tiltekið
  • hafa góðan skilning á þeirri grundvallarhugmynd að prósent merkir hundraðshluti af heild og geta notað þessa hugmynd í prósentureikningi, t.d. við að setja fram hlutföll í prósentum
  • vera fær í þeim prósentureikningi sem er algengur í samfélaginu, s.s. í dæmum er varða hækkun eða lækkun, aukningu eða minnkun, afslátt, vaxtareikning og annan verslunarreikning
  • gera sér grein fyrir því hvernig eitthvað getur verið meira en 100%
  • þekkja algengustu hugtök og lögmál varðandi þríhyrninga, s.s. rétthyrnda, jafnhliða og jafnarma þríhyrninga og reglur um hvenær tveir þríhyrningar eru eins
  • geta reiknað hornastærðir út frá gefnum forsendum
  • þekkja til algengustu teikninga með hringfara og reglustiku
  • kunna regluna um hornasummu í þríhyrningi
  • skilja hvernig mæla má lengdir með tölum ef lengdareining er gefin og gera sér grein fyrir útreikningum á ýmsum lengdum sem tengjast flatarmyndum og þrívíðum hlutum, s.s. ummáli marghyrninga
  • kunna góð skil á metrakerfinu hvað varðar mælingu flatarmynda og þrívíðra hluta og hafa kynnst öðrum einingum, t.d. þumlungum, mílum og ekrum
  • þekkja uppbyggingu metrakerfisins, skammstafanir og heiti þess, geta breytt á milli eininga af öryggi og átta sig á tengslum metrakerfisins við tugakerfið
  • geta leyst fyrsta stigs jöfnur með einni óþekktri stærð
  • átta sig á einfaldri notkun bókstafa í stærðfræði, nánar tiltekið
  • skilja hvernig nota má bókstafi til að tákna stærðir
  • skilja hvað það þýðir að leysa jöfnu
  • geta leyst jöfnur með einni breytu
  • kunna reiknireglur sem gilda um reikninga þar sem ein eða fleiri óþekktar stærðir koma fyrir (t.d. reglur sem leyfa að óþekkt stærð í jöfnu sé einangruð öðrum megin jafnaðarmerkis)
  • ráða við margvísleg orðadæmi sem leysa má með því að setja upp og leysa fyrsta stigs jöfnur með einni eða tveimur óþekktum stærðum
  • þekkja og geta lesið töflur, línurit, súlurit, skífurit og önnur myndrit sem notuð eru í samfélaginu og setja fram tölulegar upplýsingar á skipulegan hátt, t.d. í töflum og myndritum
Níunda námsár
Uppfært í ágúst 2016
Að nemandi geti:
  • hafa skilning á muninum á jákvæðum og neikvæðum tölum og kunna formerkjareglur
  • þekkja mengi náttúrlegra talna, heilla talna, ræðra talna og rauntalna, tákn þeirra, N, Z, Q og R
  • gera sér grein fyrir muninum á prósentuhækkun (hlutfallslegri hækkun) og raunverulegri hækkun í tölum talið
  • hafa gott vald á prósentuhugtakinu og vera fær í prósentureikningi, nánar tiltekið
  • hafa góðan skilning á þeirri grundvallarhugmynd að prósent merkir hundraðshluti af heild og geta notað þessa hugmynd í prósentureikningi, t.d. við að setja fram hlutföll í prósentum
  • kunna að beita breytiþætti við reikning á breytingum í prósentum
  • hafa kynnst raunhæfum dæmum um fjármál einstaklinga og heimila, verslun og viðskipti og þekkja helstu hugtök þar að lútandi sem notuð eru í samfélaginu, t.d. reiknireglur varðandi víxla, raðgreiðslur og afskriftir
  • þekkja stærðfræðileg hugtök eins og π
  • þekkja sambandið milli þvermáls, geisla og flatarmáls í hring
  • læra að nota formúlur við útreikning á rúmfræðilegum stærðum
  • þekkja hugökin punkt, línu, línustrik, horn, ýmsar gerðir marghyrninga (t.d. reglulega marghyrninga), hring og hutök honum tengd
  • þekkja til algengustu teikninga með hringfara og reglustiku, t.d. tvískiptingar horns og hvernig miðpunktur línustriks er fundinn
  • kunna undirstöðuatriði algebru varðandi liðun, þáttun, veldi, rætur og röð aðgerða
  • þekkja dreifireglu, kunna að margfalda upp úr svigum og þátta fyrsta og annars stigs margliður
  • kunna að nota sviga í stærðfræði og þekkja forgangsröð reikniaðgerða
  • hafa skilning á notkun bókstafa sem staðgengla fyrir tölur
  • kunna að margfalda uppúr svigum og þekkja dreifireglu margföldunar
  • geta leyst flóknari jöfnur í réttri röð
  • þekkja staðalform (tugveldaframsetningu) ræðra talna
  • þekki hugtökin mengi, stak, hlutmengi, sammengi og sniðmengi
  • geta gert sér stærðfræðileg hugtök skiljanlegri með því að setja þau í samband við hversdagslega hluti
  • geta reiknað út úr formúlum og umritað þær eftir hentugleika
  • þekkja hvað átt er við með hlutföllum milli stærða og geta skírt hlutföll með tilvísun til lengda strika, flatarmála svæða eða á annan myndrænan eða áþreifanlegan hátt
  • skilja hvað átt er við með mælikvarða á teikningum og kortum, geta lesið lengdir og stærðir af vinnuteikningum og landakortum og geta sjálfur gert teikningar í gefnum hlutföllum
  • kunna skil á einslögun flatarmynda og tengslum við hlutföll
  • geta sett fram niðurstöður sínar um samband milli stærða með töflum, gröfum, formúlum og jöfnum og hafa góða innsýn í sambandið milli þessara ólíku framsetningarhátta
  • þekkja undirstöðuhugtök hnitarúmfræði og geta notað þau
  • kunna allar grunnaðgerðir reiknings með almenn brot
  • kunna að beita sömu aðferðum á blendnar tölur
  • kunna að umrita brot í blendna tölu og öfugt.
Tíunda námsár
Uppfært í ágúst 2016
Að nemandi geti:
  • kunna undirstöðuatriði algebru varðandi liðun, þáttun, veldi, rætur og röð aðgerða
  • rifja upp það sem hann hefur áður lært um veldi, tugveldi og margliður
  • þekkja dreifireglu margföldunar, þegar margfaldað er með svigum
  • kunna að beita samokareglu og ferningsreglu til að margfalda saman 2 sviga
  • kunna að beita þáttun til að einfalda stæður
  • kunna að stytta ræðar stæður
  • kunna að beita aðferðum á breytur sem hann notar á rauntölur
  • lesa töflur, línurit, súlurit, skífurit og önnur myndrit sem notuð eru í samfélaginu og setja fram tölulegar upplýsingar á skipulegan hátt
  • kunna skil á algengustu aðferðum við að vinna úr tölulegum gögnum og setja niðurstöður fram, nánar tiltekið
  • þekkja og skilja algeng hugtök sem notuð eru til að lýsa gagnasöfnum, s.s. tíðni, hlutfallstíðni, tíðnidreifingu, meðaltal, vegið meðaltal, tíðasta gildi og miðgildi, og geta fundið þessar stærðir í gefnum gagnasöfnum
  • kunna skil á tíðnitöflum, súluritum, skífuritum, línuritum og fleiri aðferðum við framsetningu og lýsingu tölulegra gagna
  • gera sér grein fyrir merkingu líkindahugtaksins og kunna að meta líkindi með tilraunum í einföldum tilvikum
  • þekkja hugtakið úrtak og hafa kynnst því hvað hafa ber í huga þegar úrtak er valið
  • hafa fengist við líkindafræðileg verkefni sem tengjast beint daglegu lífi eða hlutum sem eru ofarlega á baugi í þjóðfélaginu, s.s. úrtakskönnunum, peningaspilum og happdrættisleikjum
  • hafa kynnst skilyrtum líkindum í einföldum dæmum, t.d. hverjar eru líkur þess að 1 hafi komið upp á teningi ef vitað er að það var oddatala sem kom upp
  • átta sig á greinarmun á fræðilegum líkum, líkum sem leiddar eru af tilraunum og huglægu mati á líkum án tilrauna
  • geta reiknað líkur í einföldum tilvikum þar sem einungis endanlega margar útkomur koma til greina
  • kunna að nota reiknivél til að leggja saman, draga frá, margfalda, deila, draga ferningsrætur og hefja í veldi og geta notað reiknivél í prósentureikningi
  • þekkja ferningsrætur náttúrlegra talna
  • þekkja til sögu ýmissa stærðfræðilegra hugtaka sem koma fyrir í náminu, s.s. frumtalna, π og reglu Pýþagórasar
  • kunna setningu Pýþagórasar, hafa séð sönnun á henni og geta beitt setningunni í margvíslegu samhengi
  • rifja upp það sem hann hefur þegar lært í rúmfræði
  • átta sig á flatarmáli, kunna reglur um helstu flatarmálsreikninga og geta beitt þeim
  • átta sig á rúmmáli og kunna reglur um rúmmál réttstrendings og sívalnings
  • vita að rúmmál strýtu/keilu er þriðjungur af rúmmáli réttstrendings/sívalnings með sömu hæð og rúmmál kúlu er tveir þriðju hlutar af rúmmáli sívalnings með sama þvermál og hæð jafna þvermáli sínu
  • þekkja samsvörun rúmmáls og mælieininga fyrir vökva, vita að 1 lítri samsvarar 1 dm3 og 1 ml samsvarar 1 cm3 og geta reiknað milli þessara eininga
  • þekkja hugtökin punkt, línu, línustrik, horn, ýmsar gerðir marghyrninga
  • geta reiknað hornastærðir út frá gefnum forsendum
  • hugsa rökrétt, pæla, spá og spekúlera
  • geta leyst tvær fyrsta stigs jöfnur með tveimur breytum samhliða, með mismunandi aðferðum
  • geta leyst fyrsta og annars stigs jöfnur með einni breytu
  • kunni undirstöðuatriði þáttunar
  • geti breytt liðastærð í margfeldi með þáttun
  • geta notað stærðfræði til að átta sig á fjármálum einstaklinga og heimila
  • kunna að nota töflureikni við útreikninga og úrvinnslu upplýsinga
  • geta beitt stærðfræði við verkefni sem snerta samskipti hans við samfélagið svo sem stjórnvöld, fjármálastofnanir og atvinnulíf
  • þjálfast í að beita prósentureikningi í ýmsu samhengi
  • sett fram og notað mismunandi framsetningu sama fyrirbæris, hvort sem um er að ræða hlutbundna, myndræna, munnlega eða algebrulega framsetningu eða með töflu og grafi.
  • valið og notað margvísleg verkfæri, þar með talin tölvutækni, gert sér grein fyrir möguleikum þeirra og takmörkunum, notað þau markvisst til að rannsaka stærðfræðileg efni og setja fram niðurstöður sínar.
  • tjáð sig um stærðfræðileg efni munnlega, skriflega og myndrænt, af nákvæmni og túlkað framsetningu annarra á stærðfræðilegu efni,
  • undirbúið og flutt munnlegar kynningar og skrifað texta um eigin vinnu með stærðfræði, m.a. með því að nota upplýsingatækni
  • unnið í samvinnu við aðra að lausnum stórra og smárra stærðfræðiverkefna og gefið öðrum viðbrögð, m.a. með því að spyrja markvisst,
  • getur nýtt þá þekkingu til að kanna og ræða um stærðfræðileg hugtök, um tilgang og takmörk þeirra.
  • unnið með einfaldar sannanir.